112年雄中高二數A難題解析

偶然看到 112 年高雄中學的高二數A段考題，雖然這道題目需要使用舊教材的數學概念，但轉念一想，這類多步驟的解題過程非常適合用來訓練學生的數學思維與解題技巧。今天，我藉由這道題目來和大家分享如何從題目看似複雜的條件中抽絲剝繭，找到解答的線索，並提供解法給大家作為參考。

這道題目看似複雜，因為它要求我們找到 tan(x−2y) 的最小值，而條件為 sin⁡x=3sin⁡(2y−x)，似乎沒有直接提供任何角度或範圍的具體數值。然而，透過靈活運用一些三角函數的公式，我們能將這個問題逐步化簡。今天，我們會深入剖析這個問題的解題過程，並幫助讀者理解每個步驟的背後邏輯。 首先，sin⁡x=3sin⁡(2y−x)，這個條件給出了 sin⁡x 和 sin⁡(2y−x) 之間的比例關係，而這種比例關係，這通常暗示可以使用一些技巧來揭露出隱含的訊息，因為存在比例關係，我們可以嘗試透過相加或相減的方式來得到新的信息，即

這裡會採用和差運算，是因為後續可以使用「和差化積」公式，和差化積公式如下：

利用商數關係，我們可以求出新的關係式 tany = 2tan(y-x)

因關係式  tany = 2tan(y-x) 與目標 tan(x−2y) 之間，可利用和差角公式進行處理，和角公式為

故得

最後，要求 tan(x−2y)  的最小值，我們可以利用算幾不等式。將分母進一步化簡，即

便可求出最小值。

在這道題目中，我們從 sin⁡x=3sin⁡(2y−x) 的條件出發，通過比例關係的應用、和差化積公式、和差角公式、以及最後的算幾不等式，最終找到了 tan⁡(x−2y)的最小值。

希望這篇解題過程能幫助大家更深入理解三角函數問題的解法！別忘了，持續練習和積累解題技巧，將有助於在考試中脫穎而出